Родился в Борисоглебске в семье преподавателя уездного училища. Учился в Воронежских вечерних классах рисования, в школе живописи и рисования Константина Юона и Ивана Дудина, затем в Московском училище живописи ваяния и зодчества у Константина Коровина.
С 1910 года был членом объединений «Бубновый валет». «Сезаннизм», ставший направляющим творческим руслом всех типических «бубновалетцев», получил у Куприна наиболее четко определенное и в то же время наиболее умеренное выражение. Понимая мир как большой натюрморт, как сочетание ощутимо-материальных красочных фактур, он не обращался ни к радикальным формам авангарда - остановившись как бы на пороге кубизма, — ни к лубочно-фольклорному примитиву.
С годами в творчестве мастера верх берет задумчиво-созерцательное начало, композиции развертываются вдаль, краски смягчаются, сохраняя, однако, острую предметно-фактурную экспрессию. Среди поздних работ Куприна наиболее известны полные внутренней гармонии крымские пейзажи. Александр Васильевич активно работал как педагог - преподавал в Свободных художественных мастерских Москвы, Нижнего Новгорода и других училищах. Умер в 1960 году в Москве.